《英雄联盟》手游中河流之主（塔姆）的推出时间如下：

美服推出时间

曝光时间：2015年6月19日

测试服时间：2015年6月24日

正式服时间：2015年7月5日至7月10日

国服推出时间

正式服时间：2015年7月20日左右

因此， 《英雄联盟》手游中河流之主的推出时间是在2015年7月20日左右。